Question

【題目】如圖，在五棱錐P﹣ABCDE中，△ABE是等邊三角形，四邊形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中點，點P在底面的射影落在線段AG上．
（Ⅰ）求證：平面PBE⊥平面APG；
（Ⅱ）已知AB=2，BC= ，側棱PA與底面ABCDE所成角為45°，S△PBE= ，點M在側棱PC上，CM=2MP，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取BE中點F，連接AF，GF，由題意得A，F，G三點共線， 過點P作PO⊥AG于O，則PO⊥底面ABCDE
∵BE平面ABCDE，∴BE⊥PO，
∵△ABE是等邊三角形，
∴BE⊥AG
∵AG∩PO=O，∴BE⊥平面PAG，
∵BE平面PBE，
∴平面PBE⊥平面APG．
解：（II）連接PF，
∵
又∵∠PAF=45°，∴PF⊥AF，∴PF⊥AF，
∴PF⊥底面ABCDE．
∴O點與F點重合．
如圖，以O為原點，分別以 的方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標系．
底面ABCDE的一個法向量
∵ ，
∴ ，
設平面ABM的法向量 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，取 則 ，
∴ ，
∵二面角的法向量 分別指向二面角的內外， 即為二面角的平面角，
∴cos＜ ＞ = = ．
∴二面角M﹣AB﹣D的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取BE中點F，連接AF，GF，由題意得A，F，G三點共線，過點P作PO⊥AG于O，則PO⊥底面ABCDE，推導出BE⊥PO，BE⊥AG，由此能證明平面PBE⊥平面APG．（II）連接PF，推導出O點與F點重合，以O為原點，分別以 的方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標系．利用向量法能求出二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．