Question

設f（x）為定義在R上的偶函數，當0≤x≤2時，y=x；當x＞2時，y=f（x）的圖象是頂點為P（3，4）且過點A（2，2）的拋物線的一部分．
（1）求函數f（x）在（-∞，-2）上的解析式；
（2）在圖中的直角坐標系中畫出函數f（x）的圖象；
（3）寫出函數f（x）的值域和單調區間．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當x＞2時，y=f（x）的圖象是頂點為P（3，4），用點斜式可求得其解析式；然后根據f（x）是偶函數，求出f（x）在（-∞，-2）上的解析式即可；
（2）首先根據一次函數及二次函數的圖象畫出函數f（x）右側的圖象，再根據偶函數圖象的對稱性，畫出函數f（x）的整個圖象即可；
（3）由（2）中函數圖象可知，函數的最大最大值為4，進而求出函數的值域和單調區間即可．

解答： 解：（1）當x＞2時，設f（x）=a（x-3）²+4．
∵f（x）的圖象過點A（2，2），
∴f（2）=a（2-3）²+4=2，∴a=-2，
∴f（x）=-2（x-3）²+4；
設x∈（-∞，-2），則-x＞2，
∴f（-x）=-2（-x-3）²+4．
又因為f（x）在R上為偶函數，∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=-2（-x-3）²+4，
即f（x）=-2（x+3）²+4，x∈（-∞，-2）．
（2）圖象如下圖所示：

（3）由圖象觀察知f（x）的值域為{y|y≤4}，
單調增區間為（-∞，-3]和[0，3]，
單調減區間為[-3，0]和[3，+∞）．

點評：本題主要考查了函數奇偶性質的運用，考查了分段函數及其函數的圖象，屬于中檔題．