Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）或， 時，證明： .

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)，設(shè)，再求，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最小值，證明函數(shù)的最小值大于0.

試題解析：（Ⅰ） 的定義域為， ，

當(dāng)時， ， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ， ，函數(shù)單調(diào)遞減， ， ，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（Ⅱ）設(shè)， ，

設(shè)， .

①當(dāng)時， ， ，所以在上單調(diào)遞增；

∴，即， 在上單調(diào)遞增，

∴，不等式成立；

②當(dāng)時， ， ； ， ，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

∴，

即， 在上單調(diào)遞增. ∴，不等式成立；

綜上所述：當(dāng)， 時，有恒成立.