Question

【題目】定義在R上的函數f（x）= x3+cx+3（c為常數），f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）設g（x）=4lnx﹣f′（x），（其中f′（x）是函數f（x）的導函數），求g（x）的極值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= x3+cx+3，f′（x）=x2+c，

因為f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，

所以f′（0）=c=﹣1，

即f（x）= x3﹣x+3

（2）解：由（1），可得g（x）=4lnx﹣x2+1，x∈（0，+∞），

則g′（x）= ﹣2x= =﹣ ，

①當0＜x＜ 時，g′（x）＞0，

可得g（x）在（0， ）上為增函數；

②當x≥ 時，g′（x）≤0，

可得g（x）在（ ，+∞）上為減函數；

所以g（x）在x= 處取得極大值g（ ）=2ln2﹣1

【解析】（1）求出f′（x）=x2+c；然后根據f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，求出f′（0）=c=﹣1，進而求出函數y=f（x）的解析式即可；（2）分別求出g（x）、g′（x），然后分兩種情況：①當0＜x＜ 和②當x≥ 時，討論求出g（x）的極值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．