Question

【題目】某校從高二年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100]后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求圖中實數a的值；
（2）若該校高二年級共有學生640人，試估計該校高二年級期中考試數學成績不低于60分的人數；
（3）若從數學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，求這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，

∴10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．

解得a=0.03

（2）解：根據頻率分布直方圖，成績不低于6（0分）的頻率為

1﹣10×（0.005+0.01）=0.85．

由于該校高一年級共有學生640人，利用樣本估計總體的思想，

可估計該校高一年級數學成績不低于6（0分）的人數約為640×0.85=544人

（3）解：成績在[40，50）分數段內的人數為40×0.05=2人，分別記為A，B．

成績在[90，100]分數段內的人數為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F．（7分）

若從數學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，

則所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），

（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15種．（9分）

如果兩名學生的數學成績都在[40，50）分數段內或都在[90，100]分數段內，

那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定不大于10．

如果一個成績在[40，50）分數段內，另一個成績在[90，100]分數段內，

那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定大于10．

記“這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10”為事件M，

則事件M包含的基本事件有：

（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7種．

所以所求概率為P（M）=

【解析】（1）根據陰影矩形的面積之和等于1，計算a的值；（2）首先計算成績不低于60分的頻率，即后四個小矩形的面積和，然后用640×頻率計算人數；（3）若兩名學生的學生成績之差的絕對值不大于10，即兩人是同一組的學生，那么首先計算兩組的人數，并編號，并以編號的形式列出所有選取2人的基本事件的個數，同時計算同一組的兩個人的所有基本事件的個數，最后相除得到概率．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解頻率分布直方圖的相關知識，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．