Question

【題目】已知關于x的函數，其導函數.

（1）如果函數在處有極值，求函數的表達式；

（2）當時，函數的圖象上任一點P處的切線斜率為k，若，求實數b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）首先求出，根據極值的定義可得，解方程組求出、，將、的值代入驗證函數能否取得極值即可求解.

（2）由，設圖象上任意一點，利用導數的幾何意義可得任意，恒成立，分離參數只需任意恒成立，設，利用導數求出的最小值即可.

（1），

因為函數在處有極值，

所以

解得或.

（i）當時，，

所以在上單調遞減，不存在極值

（ii）當時，

時，，單調遞增；

時，，單調遞減，

所以在處存在極大值，

符合題意綜上所述，滿足條件的值為

故函數.

（2）當時，函數，

設圖象上任意一點，則，

因為，所以對任意，恒成立，

所以對任意，不等式恒成立，

設，則，

當時，

故在區間上單調遞減，

所以對任意，

所以.