Question

【題目】如圖，在四棱錐是平行四邊形，

（1）證明：平面平面PCD；

（2）求直線PA與平面PCB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）證明AC平面PCD，結合平面與平面垂直判定，即可。（2）建立空間直角坐標系，分別得出O,P,A,B,C坐標，計算平面PCB的法向量，計算向量坐標，結合空間向量數量積，計算，即可。

解（1）證明：因為

所以

所以

所以

因為，

所以

因為所以

（2）由（1）知

所以交線為CD，過P在平面PCD內做CD的垂線，垂足為O，

取BC中點為M，連PM,AM，

因為,,

所以,又平面PAM

所以,

因為 ,所以,因為直線AP平面PAM,

所以直線直線AP,

又,所以.

在中，由余弦定理得,

即

所以,

由此，，所以四邊形ABOC為平行四邊形，所以，所以

以直線OP為z軸，直線OD為x軸，直線OB為y軸建立空間直角坐標系.

所以

設是平面PBC的一個法向量，因為

所以，取，又,

所以，,

所以直線PA與平面PCB所成角的正弦值.