Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）討論函數的單調區間與極值；

（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，且取得最大值時，設，且函數有兩個零點，求實數的取值范圍，并證明：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）當時， 最大為；（Ⅲ）證明過程見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導數，分類討論，利用導數的正負，討論函數f（x）的單調區間與極值；（Ⅱ）當b>0時，由（Ⅰ）得，即可求的最大值；（Ⅲ） ，構造函數，得出當x→0（x>0）時，

F（x）→-∞；x→+∞時，F（x）→-m，再用分析法進行證明即可．

試題解析：（Ⅰ）

當時， 恒成立，函數的單調增區間為，無極值；

當時， 時， 時，，函數的單調減區間為，增區間為，有極小值；

（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）得，

即當時， 最大為

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當取最大值1時， ，記，

，不妨設，由題意，則， ，欲證明，只需證明，只需證明，

即證明，即證，設，則只需證明，也就是證明，記，所以，所以在單調遞增，所以，所以原不等式成立.