Question

【題目】已知函數f（x）=x+ ，且f（1）=2．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）用定義法證明f（x）在區間（1，+∞）上是增函數．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=x+ ，且f（1）=2，

可得1+m=2，即有m=1；

（2）解：f（x）=x+ 為奇函數．

理由：定義域為{x|x≠0}關于原點對稱．

且f（﹣x）=﹣x+ =﹣f（x），

則f（x）為奇函數；

（3）證明：設x1＞x2＞1，

則f（x1）﹣f（x2）=x1+ ﹣（x2+ ）

=（x1﹣x2）+

=（x1﹣x2）（1﹣ ），

由x1＞x2＞1，可得x1x2＞1，x1﹣x2＞0，1﹣ ＞0，

可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．

即f（x）在區間（1，+∞）上是增函數

【解析】（1）代入x=1，解方程可得m的值；（2）f（x）=x+ 為奇函數．運用奇函數的定義，注意定義域關于原點對稱，f（﹣x）=﹣f（x）；（3）運用單調性的定義證明，設值、作差、變形和定符號、下結論等步驟．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大�。虎圩鞑畋容^或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能正確解答此題．