Question

【題目】已知函數f（x）=（ ）x ， 函數g（x）=log x．
（1）若g（ax2+2x+1）的定義域為R，求實數a的取值范圍；
（2）當x∈[（ ）t+1 ， （ ）t]時，求函數y=[g（x）]2﹣2g（x）+2的最小值h（t）；
（3）是否存在非負實數m，n，使得函數y=log f（x2）的定義域為[m，n]，值域為[2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： 定義域為R；

所以ax2+2x+1＞0對一切x∈R成立；

當a=0時，2x+1＞0不可能對一切x∈R成立；

所以 即： ；

綜上 a＞1

（2）解： ；

令 ；

所以y=u2﹣2u+2=（u﹣1）2+1，u∈[t，t+1]；

當t≥1時， ；

當0＜t＜1時，ymin=1；

當t≤0時， ；

所以

（3）解：y=x2在[0，+∞）上是增函數；

若存在非負實數m、n滿足題意，則 ；

即m、n是方程x2=2x的兩非負實根，且m＜n；

所以m=0，n=2；

即存在m=0，n=2滿足題意

【解析】（1）g（ax2+2x+1）的定義域為R，即所以ax2+2x+1＞0對一切x∈R成立，轉化為一元二次函數問題；（2）利用換元法構造新函數y=u2﹣2u+2=（u﹣1）2+1，u∈[t，t+1]；對參數t分類討論其位置，判斷函數的最小值即可；（3）根據函數的單調性，列出方程組 ，轉化為：即m、n是方程x2=2x的兩非負實根，且m＜n；