Question

【題目】已知函數．　

（Ⅰ）若，證明：函數是上的減函數；

（Ⅱ）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；

（Ⅲ）若，證明： （其中…是自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）；（III）詳見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意二次求導可得，函數是上的減函數.

(2)利用題意由導函數研究函數的切線得到關于a的方程，解方程可得.

(3)原不等式等價于，結合(1)的結論構造函數，令，可證得．

試題解析：

（Ⅰ）當時，函數的定義域是，所以，

令，只需證： 時， ．

又，

故在上為減函數，

所以，

所以，函數是上的減函數．

（Ⅱ）由題意知， ，且，

所以，即有，

令， ，

則，

故是上的增函數，又，因此是的唯一零點，

即方程有唯一實根，所以．

（Ⅲ）因為 ，

故原不等式等價于，

由（Ⅰ）知，當時， 是上的減函數，

故要證原不等式成立，只需證明：當時， ，

令，則， 在上的增函數，

所以，即，故，

即．