Question

已知拋物線y²=4x，點M（1，0）關于y軸的對稱點為N，直線l過點M交拋物線于A，B兩點．
（Ⅰ）證明：直線NA，NB的斜率互為相反數；
（Ⅱ）求△ANB面積的最小值；
（Ⅲ）當點M的坐標為（m，0）（m＞0，且m≠1）．根據（Ⅰ）（Ⅱ）推測并回答下列問題（不必說明理由）：
①直線NA，NB的斜率是否互為相反數？
②△ANB面積的最小值是多少？

Answer 1

（Ⅰ）設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由

y=k(x-1) y2=4x

可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2k2+4

k2

，x1x2=1．
∴y₁y₂=-4∵N（-1，0）kNA+kNB=

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=

4y1

y 21 +4

+

4y2

y 22 +4

=

4[y1( y 22 +4)+y2( y 21 +4)]

( y 21 +4)( y 22 +4)

=

4(-4y2+4y1-4y1+4y2)

( y 21 +4)( y 22 +4)

=0．
又當l垂直于x軸時，點A，B關于x軸，顯然k_NA+k_NB=0，k_NA=-k_NB．
綜上，k_NA+k_NB=0，k_NA=-k_NB．
（Ⅱ）S△NAB=|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4(x1+x2)+8

=4

1+ 1 k2

＞4．
當l垂直于x軸時，S_△NAB=4．
∴△ANB面積的最小值等于4．
（Ⅲ）推測：①k_NA=-k_NB；
②△ANB面積的最小值為4m

m

．