Question

如圖，一水渠的橫斷面是拋物線形，O是拋物線的頂點，口寬EF=4米，高3米
（1）建立適當的直角坐標系，求拋物線方程．
（2）現將水渠橫斷面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不變，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大時，所挖的土最少？

Answer 1

（1）如圖以O為原點，AB所在的直線為X軸，建立平面直角坐標系，
則F（2，3），設拋物線的方程是x²=2py（p＞0）
因為點F在拋物線上，所以4=2p×3，p=

2

3

所以拋物線的方程是x2=

4

3

y（5分）
（2）等腰梯形ABCD中，AB∥CD，線段AB的中點O是拋物線的頂點，AD，AB，BC分別與拋物線切于點M，O，N
y'=

3

2

x，設N（x₀，y₀），x₀＞0，，
則拋物線在N處的切線方程是y-y₀=

3

2

x0(x-x0)，所以B(

1

2

x0，0)C(

4+x02

2x0

，3)，（10分）
梯形ABCD的面積是S=

1

2

(x0+

4+x02

2x0

)×3=

3

2

(2x0+

4

x0

)=3(x0+

2

x0

)≥6

2

，等號當且僅當x0=

2

時成立，
答：梯形ABCD的下底AB=

2

米時，所挖的土最少（12分）