Question

【題目】已知點在雙曲線（，）上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．

（1）求雙曲線的方程；

（2）若過點且斜率為的直線與雙曲線有兩個不同的交點，求實數的取值范圍；

（3）設（2）中直線與雙曲線交于兩個不同的點，若以線段為直徑的圓經過坐標原點，求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題(1)要求雙曲線的標準方程，必須找到關于的兩個等式，題中一條漸近線方程為，說明，這是一個等式，點在雙曲線上，那么此點坐標適合雙曲線方程，代入進去又可得到一個等式，這樣可解得；(2)直線與雙曲線有兩個不同的交點，直接把直線方程與雙曲線方程聯立方程組，此方程組有兩解，方法是消去一個元，得到關于的二次方程，此方程是二次方程有兩個不等的實根，則；(3)題設條件說明，如果設，則有，可用表示出來，而在(2)中可用表示出來，代入剛才的等式，得到的方程，可解得．

試題解析：(1)由題知，有

解得

因此，所求雙曲線的方程是．

(2)∵直線過點且斜率為，

∴直線：．

聯立方程組得．

又直線與雙曲線有兩個不同交點，

∴

解得．

(3)設交點為，由(2)可得

又以線段為直徑的圓經過坐標原點，

因此，為坐標原點）．

于是，即，，

，解得．

又滿足，且，

所以，所求實數．