Question

【題目】某疾病控制中心為了研究某種病毒的抗體，將這種病毒感染源放人含40個(gè)小白鼠的封閉容器中進(jìn)行感染，未感染病毒的小白鼠說明已經(jīng)產(chǎn)生了抗體，已知小白鼠對(duì)這種病毒產(chǎn)生抗體的概率為.現(xiàn)對(duì)40個(gè)小白鼠進(jìn)行抽血化驗(yàn)，為了檢驗(yàn)出所有產(chǎn)生該種病毒抗體的小白鼠，設(shè)計(jì)了下面的檢測(cè)方案：按（，且是40的約數(shù)）個(gè)小白鼠平均分組，并將抽到的同組的個(gè)小白鼠每個(gè)抽取的一半血混合在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)該病毒抗體，則對(duì)該組的個(gè)小白鼠抽取的另一半血逐一化驗(yàn)，記為某組中含有抗體的小白鼠的個(gè)數(shù).

（1）若，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）為減少化驗(yàn)次數(shù)的期望值，試確定的大小.

（參考數(shù)據(jù)：，，，，）

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析，1；（2）4

【解析】

(1)由題意可得，隨機(jī)變量的分布滿足二項(xiàng)分布，所以直接利用二項(xiàng)分布公式即可得的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)根據(jù)平均分組得到的可能取值，再根據(jù)二項(xiàng)分布可得出化驗(yàn)次數(shù)的期望值進(jìn)行比較大小，從而可得出此時(shí)的值.

（1）當(dāng)時(shí)，，，.

其分布列為

	0	1	2	3	4	5

.

（2）根據(jù)題意，

當(dāng)時(shí)，，對(duì)于某組個(gè)小白鼠，化驗(yàn)次數(shù)的可能取值為1，，

，，∴，

∴40個(gè)小白鼠化驗(yàn)總次數(shù)的期望為，

，，，，，，

∴按4個(gè)小白鼠一組化驗(yàn)可使化驗(yàn)次數(shù)的期望值最小.