Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，AC、BD交于點O，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE.

（1）求證：BD⊥平面PAC；

（2）若，，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）arccos

【解析】

（1）證明PA⊥BD．PC⊥BD．即可證明BD⊥平面PAC．

（2）由PC⊥平面BDE得∠BEO為二面角 B﹣PC﹣A的平面角，在Rt△BEO中，即可求解二面角B﹣PC﹣A的大小．

證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD

∴PA⊥BD．同理由PC⊥平面BDE，可證得PC⊥BD．

又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．

（2）由PC⊥平面BDE,故PC⊥OE，PC⊥BE則∠BEO為二面角 B﹣PC﹣A的平面角

由（1）知BO⊥AC∴ABCD為正方形∴AB＝2，AC=2,故PC=3

在Rt△BEO中，又，

∴cos∠EFO

∴二面角B﹣PC﹣A的大小為arccos