Question

【題目】已知函數（其中為常數，為自然對數的底數，）

（1）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值集合，

（2）已知正數滿足：存在，使不等式成立.

①求的取值集合；

②試比較與的大小，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②見解析.

【解析】

（1）求出函數的導數，由題意知，可知，進而可求得實數的值；

（2）①由題意可知，存在使得不等式成立，構造函數，利用導數求出函數在區間上的最小值，即可得出實數的取值集合；

②構造函數，其中，利用導數判斷函數在區間上的單調性，可得出與的大小關系，進而可得出與的大小關系.

（1），則且，

由于對任意，不等式恒成立，即，.

當時，對任意，，此時，函數在上為增函數，無最小值，不合乎題意；

當時，令，得.

若，則；若，則.

所以，函數在處取得極小值，亦即最小值，所以，，因此，；

（2）①由題意知，存在使得不等式，則，

構造函數，其中，則，

對任意的恒成立，

所以，函數在區間上單調遞增，則，.

因此，實數的取值集合為；

②構造函數，其中，則，

所以，函數在區間上單調遞減.

當時，則；

當時，則，即，即，則.

綜上所述，當時，則；當時，.