Question

【題目】已知為坐標原點，橢圓的右焦點為，離心率為，過點的直線與相交于兩點，點為線段的中點.

（1）當的傾斜角為時，求直線的方程；

（2）試探究在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定點

【解析】

（1）由題得，解得，由，得，可得橢圓方程,與直線方程聯立，利用韋達定理求出中點坐標，進而可得直線的方程；（2）直線的斜率不為0時，設，直線的方程為，與橢圓方程聯立，利用韋達定理，結合平面向量數量積公式可得在x軸上存在定點，使得為定值，再驗證直線的斜率為0的情況即可.

（1）由題得，解得，由，得，故橢圓方程為，

設，易知直線的方程為，由，得，

于是，

從而，故，

所以直線的方程為.

（2）①當直線的斜率不為0時，設，直線的方程為，

由，得，所以

所以

，

由，得，故此時點，；

②當直線的斜率為0時，.

綜上，在x軸上存在定點，使得為定值.