Question

【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長為4的正方形，平面，分別為的中點.

（1）證明：平面.

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）記的中點為，連接，，通過證明，且推出四邊形為平行四邊形，則，由線線平行推出線面平行；（2）以為原點建立空間直角坐標系，分別求出平面、平面的法向量，代入即可求得二面角的余弦值從而求正弦值.

（1）證明：記的中點為，連接，.

因為分別為的中點，

則，且.

因為，且，

所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，

則.

又平面，平面，

所以平面.

（2）以為原點，分別以，，為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

設平面的法向量，

則

令，則.

設平面的法向量為，

則

令，則.

，

設二面角為，則，

即二面角的正弦值為.