Question

【題目】拋物線焦點為F，上任一點P在y軸的射影為Q，PQ中點為R，．

（1）求動點T的軌跡的方程；

（2）直線過F與從下到上依次交于A，B，與交于F，M，直線過F與從下到上依次交于C，D，與交于F，N，，的斜率之積為-2．

（i）求證：M，N兩點的橫坐標之積為定值；

（ii）設△ACF，△MNF，△BDF的面積分別為，，，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）見解析（ii）見解析

【解析】

（1）求出拋物線的焦點坐標，設P，則R，再設T（x，y），由可得T與P的坐標的關系，再由P在拋物線上可得動點T的軌跡的方程；

（2）（i）聯立與拋物線可得M的坐標，同理可得N的坐標，可得M，N的橫坐標之積；（ii）利用三角形的面積公式求出，，，再求出為定值4．

（1）由拋物線，得F（0，1），設P，則R，再設T（x，y），由，得（x，y）=+（0，1）=，

∴，則，

∵P（在拋物線上，

∴，即，

所以動點T的軌跡的方程是．

（2）（i）設直線，直線，

聯立消去y并整理得，解得x=0，或，所以M（，1+），

同理可得N（，1+），∴·=-2，

所以M，N兩點的橫坐標之積為-2．

（ii）聯立得

設A，B，C，D，

則,，

同理,，

，

同理，

設∠AFC=θ，

則

由（i）得，，

∴=

∴

所以為定值4．