Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，為坐標原點.

（1）若的斜率為，為的中點，且的斜率為，求橢圓的方程；

（2）連結并延長，交橢圓于點，若橢圓的長半軸長是大于的給定常數，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設出點的坐標，利用點差法求得的數值，結合以及，求得的值，由此求得橢圓方程.（2）根據已知得到，設出的坐標和直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達定理.求得三角形面積的表達式，利用基本不等式和單調性，求得面積最大值的表達式.

（1）設，則

，，.

由此可得；

因為，，，所以

又由左焦點為，故，因此.所以的方程為

（2）因為橢圓的半焦距，所以，設，直線的方程，

由方程組消去得:,

,且恒成立，

連結，由知，

，

令，則，

①若，即，則，當且僅當，

即時，；

②若，即，設，則時，

在上單調遞增，所以，當且僅當，

即時，；

綜上可知：