Question

拋物線y²=2px的準線的方程為x=-2，該拋物線上的每個點到準線x=-2的距離都與到定點N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時與直線l₁：y=x和l₂：y=-x相切的圓．
（1）求定點N的坐標； 
（2）是否存在一條直線l同時滿足下列條件：
①l分別與直線l₁和l₂交于A、B兩點，且AB中點為E（4，1）；
②l被圓N截得的弦長為2．

Answer 1

分析：（1）因為拋物線y²=2px的準線的方程為x=-2，所以p=4，再根據拋物線的定義可求出定點N的坐標．
（2）假設存在直線l滿足兩個條件，顯然l斜率存在，設l的方程為y-1=k（x-4），（k≠±1）以N為圓心，同時與直線l₁：y=x和l₂：y=-x相切的圓N的半徑為

2

，因為l被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，由此入手能夠推導出不存在滿足條件的直線l．

解答：解：（1）因為拋物線y²=2px的準線的方程為x=-2
所以p=4，根據拋物線的定義可知：
點N是拋物線的焦點，
所以定點N的坐標為（2，0）
（2）解：假設存在直線l滿足兩個條件，顯然l斜率存在，
設l的方程為y-1=k（x-4），（k≠±1）
以N為圓心，同時與直線l₁：y=x和l₂：y=-x相切的圓N的
半徑為

2

，因為l被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，
即d=

|2k-1|

1+k2

=1，
解得k=0或

4

3

，
當k=0時，顯然不合AB中點為E（4，1）的條件，矛盾！
當k=

4

3

時，l的方程為4x-3y-13=0
由

4x-3y-13=0 y=x

，解得點A坐標為（13，13），
由

4x-3y-13=0 y=-x

，解得點B坐標為(

13

7

，-

13

7

)，
顯然AB中點不是E（4，1），矛盾！
所以不存在滿足條件的直線l．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，具有一定的難度，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．