Question

【題目】已知曲線的一個最高點為，與點相鄰一個最低點為，直線與軸的交點為.

（1）求函數的解析式；

（2）求函數的單調增區間；

（3）若時，函數恰有一個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據最高點坐標,可得;由最高點和最低點連線與軸的交點可求得周期,進而得.將最高點坐標代入解析式,結合的取值范圍,即可求得函數的解析式;

（2）由（1）可得函數的解析式,由余弦函數的圖像與性質即可求得函數的單調增區間.

（3）代入解析式,分離參數可得.根據方程只有一個根,求得的值域,即可求得的取值范圍.

（1）由題知最高點,所以,

最高點和最低點連線與軸的交點可得,則；

則

由最高點坐標可知,

解得,,

因為,所以.

所以.

（2）由（1）可知

函數的單調增區間,由余弦函數的圖像與性質可知,

解得,,

所以單調遞增區間為.

（3）

變形可得

即在上只有一個根.

因為,所以.

則

所以,或,

所以的取值集合為：.