Question

設函數f（x）=2ax³-（6a+3）x²+12x（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數f（x）的極大值和極小值，并寫出函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在區間（-∞，1）上是增函數，求非零實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先求導數，然后令導數為零，判斷導數的符號，確定函數的極值點；
（2）問題轉化為導數在（-∞，1）上大于等于零恒成立，然后將問題轉化為函數的最值問題求解．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=2x³-9x²+12x，所以f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
令f′（x）=0得x=1或2．
因為x＜1或x＞2時，f′（x）＞0；當1≤x≤2時，f′（x）＜0，故f（x）_極小=f（2）=4，f（x）_極大=f（1）=5．
（2）若函數f（x）在（-∞，1）上遞增，則f′（x）=6ax²-（12a+6）x+12≥0在（-∞，1）上恒成立．
結合圖象可知，顯然當a＜0時不能滿足題意，故a≥0，
當a=0時，解得x≤2，符合題意；
當a＞0時，原式化為a（x²-2x）≥x-2．因為x＜1，所以x-2＜0，
所以原式化為ax≤1在（-∞，1）恒成立．因為y=ax此時是增函數，所以只需y_max=1×a≤1即可．
所以此時a的范圍是0＜a≤1．
故所求a的范圍是[0，1]．

點評：本題考查了利用導數其函數的極值的方法步驟，以及不等式恒成立的思路．后者一般分離參數，轉化為函數的最值問題來解．