Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）若BD=1，求三棱錐A-BCD的體積；
（Ⅱ）證明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅲ）設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求AE與DB所成的角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,異面直線及其所成的角

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)幾何體的體積公式，結(jié)合幾何體的性質(zhì)求解，
（2）運(yùn)用判斷定理證明，找線線位置關(guān)系．
（3）運(yùn)用向量的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積與夾角的關(guān)系求解．

解答： 解（Ⅰ）BD=1，
根據(jù)圖形可得：AD=

3

，AB=2，BC=4，DC=3
∴三棱錐A-BCD的體積為

1

3

×

1

2

×1×3×

3

=

3

2

，
∴得體積為

3

2

，
（Ⅱ）∵折起前AD是BC邊上的高，
∴當(dāng)△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面BDC．
∴平面ABD⊥平面BDC，
（Ⅲ）由∠BDC=90°及（Ⅰ）知DA，DB，DC兩兩垂直，
不妨設(shè)|BD|=1，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

DB

，

DC

，

DA

所在直線x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，3，0），A（0，0，

3

），E（

1

2

，

3

2

，0），
∴

AE

=（

1

2

，

3

2

，-

3

），

BD

=（1，0，0，），
∴

AE

與

DB

夾角的余弦值為

AE • DB

| AE || DB |

=

1 2

1× 22 4

=

22

22

，
故AE與DB所成的角的余弦值

22

22

點(diǎn)評(píng)：本題考查了立體幾何，空間向量與坐標(biāo)系的關(guān)系，運(yùn)用向量的知識(shí)判斷垂直，求夾角；屬于難題．