Question

已知三個實數a，b，c，當c＞0時滿足：b≤2a+3c且bc=a²，則

b

a-2c

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,基本不等式

專題：導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：當c＞0時滿足：b≤2a+3c且bc=a²，可得

a2

c

≤2a+3c，解得-1≤

a

c

≤3．于是

b

a-2c

=

a2 c

a-2c

=

( a c )2

a c -2

=f(

a

c

)，令

a

c

=t∈[-1，3]，可得f（t）=

t2

t-2

，利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：當c＞0時滿足：b≤2a+3c且bc=a²，
∴

a2

c

≤2a+3c，
化為(

a

c

)2-2•

a

c

-3≤0，
解得-1≤

a

c

≤3．

b

a-2c

=

a2 c

a-2c

=

( a c )2

a c -2

=f(

a

c

)，
令

a

c

=t∈[-1，3]，
∴f（t）=

t2

t-2

=t+2+

4

t-2

，
∴f′(t)=1-

4

(t-2)2

=

t(t-4)

(t-2)2

．
列出表格：

t	[-1，0）	0	（0，2）	（2，3]
f′（t）	+	0	-	-
f（t）	單調遞增	極大值	單調遞減	單調遞減

又f（-1）=-

1

3

，f（0）=0，f（3）=9．
由表格可知：f（t）∈（-∞，0]∪[9，+∞）．
故答案為：（-∞，0]∪[9，+∞）．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法、利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．