Question

已知平面向量

α

，

β

滿足|

α

|=|

β

|=1，且

α

與

β

-

α

的夾角為120°，則|（1-t）

α

+2t

β

|（t∈R）的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：數量積表示兩個向量的夾角

專題：平面向量及應用

分析：根據|

α

|=|

β

|=1，且

α

與

β

-

α

的夾角為120°，算出

α

•（

β

-

α

）=-

1

2

|

β

-

α

|，又|

β

-

α

|2=2-2

α

•

β

，可解得

α

•

β

=1，|（1-t）

α

+2t

β

|²=（1-t）²

α

2+4t（1-t）

α

•

β

+4t²

β

2=3t²+1≥1．即可得出結論．

解答： 解：∵|

α

|=|

β

|=1，且

α

與

β

-

α

的夾角為120°，
∴

α

•（

β

-

α

）=-

1

2

|

β

-

α

|，

α

•

β

=-

1

2

|

β

-

α

|+1，①
又|

β

-

α

|2=2-2

α

•

β

，②
∴由①②聯立可得

α

•

β

=1，
∴|（1-t）

α

+2t

β

|²=（1-t）²

α

2+4t（1-t）

α

•

β

+4t²

β

2=3t²+1≥1．
∴|（1-t）

α

+2t

β

|的取值范圍為[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點評：本題著重考查了平面向量數量積的公式、向量模的公式和實數的平方為非負數的性質等知識，屬于中檔題．