Question

“數學史與不等式選講”模塊
（1）用數學歸納法證明不等式：|sinnθ|≤n|sinθ|（n∈N^*）
（2）求函數f（x）=sin³xcosx，x∈（0，

π

2

）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先證明n=1時成立，計算n=k時，命題成立，利用放縮法，證明n=k+1時，命題成立；
（2）求導函數，取得函數的單調性，即可求得函數的最大值．

解答：（1）證明：①n=1時，|sinθ|≤|sinθ|成立；
②假設n=k時，命題成立，即|sinkθ|≤k|sinθ|成立
則n=k+1時，|sin（k+1）θ|=|sinkθcosθ+sinθcoskθ|≤|sinkθ+sinθ|≤（k+1）|sinθ|
即n=k+1時，命題成立
綜上，|sinnθ|≤n|sinθ|（n∈N^*）
（2）解：求導函數可得f′（x）=sin²x（3cos²x-sin²x）
∵x∈（0，

π

2

），∴令f′（x）=0，可得x=

π

3

∵x∈（0，

π

3

），f′（x）＞0，函數單調遞增；x∈（

π

3

，

π

2

），f′（x）＜0，函數單調遞減
∴x=

π

3

時，函數取得最大值

3 3

16

．

點評：本題考查數學歸納法，考查導數知識的運用，正確運用導數知識，掌握數學歸納法的證題步驟是關鍵．