Question

在“自選模塊”考試中，某試場的每位同學都選了一道數學題，第一小組選《數學史與不等式選講》的有1人，選《矩陣變換和坐標系與參數方程》的有5人，第二小組選《數學史與不等式選講》的有2人，選《矩陣變換和坐標系與參數方程》的有4人，現從第一、第二兩小組各任選2人分析得分情況．
（Ⅰ）求選出的4 人均為選《矩陣變換和坐標系與參數方程》的概率；
（Ⅱ）設ξ為選出的4個人中選《數學史與不等式選講》的人數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據第一小組選《數學史與不等式選講》的有1人，選《矩陣變換和坐標系與參數方程》的有5人，從而可求任選2人分析得分情況的概率，同理可求從第二小組選出的2人均考《矩陣變換和坐標系與參數方程的概率，由于兩者相互獨立，故可求相應的概率．
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3．，計算其相應的概率，從而得分布列，同時可求期望．

解答：解：（Ⅰ）設“從第一小組選出的2人均考《矩陣變換和坐標系與參數方程》”為事件A，“從第二小組選出的2人均考《矩陣變換和坐標系與參數方程》”為事件B．
由于事件A、B相互獨立，且p（A）=

C 2 5

C 2 6

=

2

3

，p(B)=

C 2 4

C 2 6

=

2

5

 所以選出的4人均考《矩陣變換和坐標系與參數方程》的概率為p（AB）=

2

3

×

2

5

=

4

15

 （Ⅱ）設ξ可能的取值為0，1，2，3．得
P（ξ=0）=

4

15

，P(ξ=1)=

22

45

，P(ξ=3)=

1

45

，P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

2

9

∴ξ 的數學期望Eξ=0×

4

15

+1×

22

45

+2×

2

9

+3×

1

45

=1

點評：本題以實際問題為載體，考查離散型隨機變量的分布列、分布列的性質、期望、獨立重復試驗的概率等知識，以及利用概率知識分析問題、解決問題的能力．