Question

【題目】設函數.

（1）若在區間上存在極值，求實數的取值范圍；

（2）①設，求的最小值；

②定義：對于函數與定義域上的任意實數，若存在常數，使得和都成立，則稱直線為函數與的“隔離直線”.設，試探究與是否存在“隔離直線”？若存在，求出“隔離直線”的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①0；②存在，

【解析】

（1）先求導，.再分① ，， 三種情況分類討論.

（2）①由，再求導.，分， 求解最小值；②由①知與的圖象在處有公共點.設與存在“隔離直線”，方程為，即，再論證在上恒成立， 恒成立即可.

（1）.

①當時，，在區間上遞增，不存在極值；

②當時，，在區間上遞減，不存在極值；

③當時，得在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

在處取得極小值.

綜上，實數的取值范圍是.

（2）①，

則.

所以當時，；當時，.

因此時，取得最小值0；

②由①知與的圖象在處有公共點.

設與存在“隔離直線”，方程為，即，

由在上恒成立，則在上恒成立.

所以成立，

因此.

下面證明恒成立.

設，則.

所以當時，；當時，.

因此時取得最大值，則恒成立.

故所求“隔離直線”方程為：.