Question

【題目】如圖，直線AB經過⊙O上一點C，⊙O的半徑為3，△AOB是等腰三角形，且C是AB中點，⊙O交直線OB于E、D．

（1）證明：直線AB與⊙O相切；
（2）若∠CED的正切值為 ，求OA的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵OA=OB，CA=CB，

∴OC⊥AB，

∴AB是⊙O的切線，即直線AB與⊙O相切．

（2）證明：依題意知，DE是直徑，

∴∠ECD=90°，

∴在Rt△ECD中，由tan∠CED= ，得 ，

∵AB是⊙O的切線，

∴∠BCD=∠E，

又∵∠CBD=∠EBC，

∴△BCD∽△BEC，

∴ ，設BD=x，則BC=2x，

又BC2=BDBE，

∴（2x）2=x（x+6），解得x1=0，x2=2，

∵BD=x＞0，

∴BD=2，

∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．

【解析】（1）連接OC，證明：OC⊥AB，即可證明直線AB與⊙O相切；（2）證明△BCD∽△BEC，可得 ，利用切割線定理，求OA的長．