Question

【題目】已知函數（x≠0，常數a∈R）．

（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；

（2）若f（1）＝2，試判斷f（x）在[2，＋∞）上的單調性

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）利用函數奇偶性的定義進行判斷，要對進行分類討論；

（2）由，確定的值，然后用單調性的定義進行判斷和證明即可.

試題解析：

（1）當a＝0時，f（x）＝x2，

f（－x）＝f（x），函數是偶函數．

當a≠0時，f（x）＝x2＋ （x≠0，常數a∈R），取x＝±1，得f（－1）＋f（1）＝2≠0；

f（－1）－f（1）＝－2a≠0，即f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1）．

故函數f（x）既不是奇函數也不是偶函數．

（2）若f（1）＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，這時f（x）＝x2＋．

任取x1，x2∈[2，＋∞），且x1<x2，

則f（x1）－f（x2）＝

＝（x1＋x2）（x1－x2）＋ （注：若用導數論證，同樣給分）

＝（x1－x2）．

由于x1≥2，x2≥2，且x1<x2．故x1－x2<0，，

所以f（x1）<f（x2），故f（x）在[2，＋∞）上是單調遞增函數．