Question

【題目】在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．

（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意知，△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，

取AC中點O，連接BO，DO，

則BO⊥AC，DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC

∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，

那么EF∥DO，根據題意，點F落在BO上，

∴∠EBF=60°，∴EF=DO= ，

所以四邊形DEFO是平行四邊形，DE∥OF；

∵DE平面ABC，OF平面ABC，∴DE∥平面ABC

（2）解：方法一：作FG⊥BC，垂足為G，連接FG；

∵EF⊥平面ABC，根據三垂線定理可知，EG⊥BC，

∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，

BF= = ，

∵FG=BFsin∠FBG= ，EF= ，

∴EG= = ，

∴cos∠EGF= = ，

即二面角E﹣BC﹣A的余弦值為 ．

方法二：建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz，

可求得平面ABC的一個法向量為 ，

平面BCE的一個法向量為

所以 =

又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值為 ．

【解析】（1）證明線面平行，需要證明直線平行面內的一條直線即可．（2）法一：利用三垂線定理作出二面角的平面角即可求解．法二：建立空間直角坐標系，利用向量法求解
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．