Question

【題目】已知中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C1與雙曲線C2有共同的焦點，設左右焦點分別為F1，F2，P是C1與C2在第一象限的交點， PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2，則e1·e2的取值范圍是( )

A. (，+) B. (，+) C. (，+) D. (0，+)

Answer 1

【答案】A

【解析】∵中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C1與雙曲線C2有共同的焦點，

設左右焦點分別為F1，F2，P是C1與C2在第一象限的交點，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，

∴設橢圓和雙曲線的長軸長分別為2a1，2a2，焦距為2c，

設|PF1|=x，|PF2|=|F1F2|=y，

由題意得，

∵橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2，

∴e1e2=，

由三角形三邊關系得|F1F2|+|PF2|＞|PF1|＞|PF2|，

即2y＞x＞y，得到1＜＜2，

∴1＜（）2＜4，∴0＜（）2﹣1＜3，

根據復合函數單調性得到e1e2=＞．

故選A．