Question

【題目】已知橢圓，直線交橢圓于兩點，為坐標原點．

（1）若直線過橢圓的右焦點，求的面積；

（2）橢圓上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在

【解析】

（1）根據直線過右焦點求出直線方程，聯立直線與橢圓方程，求出或，利用面積公式即可得解；

（2）設中點，聯立直線與橢圓方程，根據四邊形為平行四邊形，根據韋達定理求得，進而求得求出點的坐標，代入橢圓方程，可得，即可求得答案．

（1）設，．

直線過橢圓的右焦點，則，

∴直線的方程為．

聯立得，

解得或．

∴的面積為．

（2）設中點．

聯立得，

∴，

解得．

由韋達定理得，．

∵，

∴．

假設橢圓上存在點，使得四邊形為平行四邊形，

則，且，

即．

又點在橢圓上，將其代入橢圓方程，

解得，滿足，且．

綜上所述，存在，使得四邊形為平行四邊形．