Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線（為參數），.以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.

（I）寫出曲線與圓的極坐標方程；

（II）在極坐標系中，已知射線分別與曲線及圓相交于，當時，求的最大值.

Answer 1

【答案】（I）,；（II）.

【解析】

（I）將曲線的參數消去轉化為普通方程，然后轉化為極坐標方程.利用普通方程與極坐標方程的互化公式將圓的普通方程轉化為直角坐標方程.（II）由于兩個三角形的高相同，故將面積的比轉化為，將代入曲線和圓的極坐標方程，求得，，由此求得的表達式，利用輔助角公式進行化簡，并根據三角函數的值域，求得的最大值.

(Ⅰ)曲線的普通方程為，由普通方程與極坐標方程的互化公式的的極坐標方程為：，即. 曲線的極坐標方程為： .

(Ⅱ)因為與以點為頂點時，它們的高相同，即 ,

由(Ⅰ)知，，所以 ,

由得，所以當即時，有最大值為,

因此 的最大值為.