Question

【題目】若圓的內接矩形的周長最大值為．

(1)求圓O的方程；

(2)若過點的直線與圓O交于A，B兩點，如圖所示，且直線的斜率，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1) 設矩形在第一象限點為 (x，y) (x> 0，y> 0)，則，表示出矩形的周長，利用基本不等式求其最大值，根據等號的成立條件可得，進而可得圓的方程；

(2) )設直線AB：，，聯立：，利用韋達定理求出和，利用單調性求出的取值范圍.

解：(1) 設矩形在第一象限點為 (x，y) (x> 0，y> 0)，則，

∴矩形周長，

∵　，

∴，

∴，

當且僅當取“=”

∴矩形周長的最大值為，

∴r = 2，∴圓O的方程：

(2)設直線AB：， ,

聯立：，

消去y并整理得，

∴，

∴，

同理：

∴

，

∵，

∴異號，

∴

　　　　　　　

∴，

∵，

∴，

∴.