Question

已知點A（0，1）、B（2，3），曲線C：y=x²+mx+2．
（1）若曲線C和線段AB交于兩個不同的點，求m的取值范圍；
（2）當m為何值時，可使C在線段AB上截取的弦最長？并求這個最大弦長．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）由題意得不等式組，解出即可，（Ⅱ）表示出弦長弦長|CD|=

2(x2-x1)2

=

2

(1-m)2-4

 又-

3

2

≤m＜-1，得出（m-1）²≤

25

4

，從而求出弦長最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得
　　線段AB的方程為y=x+1  ①x∈[0，2]，y∈[1，3]
    y=x²+mx+2              ②
    由①②得
　　x²+（m-1）x+1=0 ③方程有兩個不等實根
　　設f（x）=x²+（m-1）x+1，
∴

△=(m-1)2-4＞0 f(0)=1＞0 f(2)=4+2(m-1)+1≥0 0＜- m-1 2 ＜2

解得-

3

2

＜m＜-1．
（Ⅱ）高線段與曲線交點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
    由①得y₂-y₁=x₂-x₁
    由③得：x₂+x₁=1-m，x₁•x₂=1
∴弦長|CD|=

2(x2-x1)2

=

2

(1-m)2-4

 又∵-

3

2

≤m＜-1
∴-

5

2

≤m-1＜-2，
∴（m-1）²≤

25

4

     弦長最長為：

2

25 4 -4

=

3 2

2

．

點評：本題考查了函數的性質，解不等式組，求參數的范圍，考查弦長問題，最值問題，是一道綜合題．