Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知c=2b，向量

m

=（sinA，

3

2

），

n

=（1，sinA+

3

cosA），且

m

與

n

共線．
（1）求角A的大小；
（2）求

a

c

的值；
（3）若a=

3

，求邊c上的高h(yuǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：解：（1）利用向量共線定理、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）由c=2b，利用正弦定理可得sinC=2sinB，再利用三角形的內(nèi)角和定理、兩角和差的正弦公式展開(kāi)即可得出C，再利用正弦定理即可得出．．
（3）利用（2）的結(jié)論，三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

與

n

共線，∴sinA(sinA+

3

cosA)-

3

2

=0，化為sin2A+

3

sinAcosA-

3

2

=0，
∴1-cos2A+

3

sin2A=3，化為2sin(2A-

π

6

)=2，即sin(2A-

π

6

)=1，
∴2A-

π

6

=2kπ+

π

2

，解得A=kπ+

π

3

(k∈Z)．
∵A∈（0，π），∴k=0，A=

π

3

．
（2）∵c=2b，由正弦定理可得sinC=2sinB=2sin(

2π

3

-C)=

3

cosC+sinC，
∴cosC=0，
∵C∈（0，π），∴C=

π

2

．
∴

a

c

=

sin π 3

sin π 2

=

3

2

．
（3）∵a=

3

，∴c=

2a

3

=2，b=1，
∴S△ABC=

1

2

ab=

1

2

ch，
∴h=

ab

c

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線定理、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．