Question

已知函數f（x）=log₂（-x²+2x+3），求該函數的定義域和值域，并指出其單調區間．

Answer 1

考點：復合函數的單調性,對數函數的定義域,對數函數的單調區間

專題：函數的性質及應用

分析：由-x²+2x+3＞0，求得函數f（x）的定義域，令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，則0＜t≤4，可得f（x）=log₂t 的值域，再結合二次函數的性質求得f（x）的單調遞區間．

解答： 解：由-x²+2x+3＞0，解得-1＜x＜3，所以函數f（x）的定義域為（-1，3），
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，則0＜t≤4，所以f（x）=g（t）=log₂t≤log₂4=2，
因此函數f（x）的值域為（-∞，2]，
函數的單調遞增區間（-1，1]，遞減區間為[1，3）．

點評：本題主要考查復合函數的單調性，二次函數的性質，對數函數的定義域和值域，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．