Question

如圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA₁=

2

，設

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

（1）試用

a

，

b

，

c

表示向量

AC

、

BD1

；
（2）若∠A₁AD=∠A₁AB=120°，求直線AC與BD₁所成的角．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）根據(jù)向量的加法或減法很容易求解．
（2）要求直線AC與BD₁所成的角，我們來求向量

AC

與

BD1

所成的角．設這兩個向量夾角為θ，則cosθ=

AC • BD1

| AC || BD1 |

，根據(jù)條件分別求出

AC

•

BD1

，|

AC

|，|

BD1

|即可．

解答： 解：（1）

AC

=

a

+

b

，

BD1

=

AD1

-

AB

=

b

+

c

-

a

．
（2）由題意得：

AC

•

BD1

=(

a

+

b

)•(

b

+

c

-

a

)=

a

•

b

+

a

•

c

-

a

2+

b

2+

b

•

c

-

b

•

a

=0-

2

2

-1+1-

2

2

-0=-

2

；
|

AC

|=

2

，

BD1

2=(

b

+

c

-

a

)2=

b

2+

c

2+2

b

•

c

-2

b

•

a

-2

c

•

a

+

a

2=1+2-

2

-0+

2

+1=4，∴|

BD1

|=2；
∴若設向量

AC

與

BD1

所成的角為θ，則cosθ=

AC • BD1

| AC || BD1 |

=-

2

2

，∴θ=135°，∴直線AC與BD₁所成的角為45°．

點評：注意通過求

BD1

2來求|

BD1

|的方法，以及通過求向量夾角來求直線的夾角的方法，利用這種方法時注意直線間夾角的范圍．