Question

【題目】某校為了解該校學(xué)生“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效率，隨機(jī)抽查了高一年級(jí)100位學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績(jī)，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)這100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）根據(jù)整個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)，可以認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布經(jīng)計(jì)算，（1）問(wèn)中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為10．用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，現(xiàn)任抽取一位學(xué)生，求他的數(shù)學(xué)成績(jī)恰在64分到94分之間的概率.

參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量，則，，

（3）該年級(jí)1班的數(shù)學(xué)老師為了能每天督促學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生每天的作業(yè)質(zhì)量及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，特意在微信上設(shè)計(jì)了一個(gè)每日作業(yè)小程序，每當(dāng)學(xué)生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時(shí)，就有機(jī)會(huì)參與一次小程序中“玩游戲，得獎(jiǎng)勵(lì)積分”的活動(dòng)，開學(xué)后可根據(jù)獲得積分的多少領(lǐng)取老師相應(yīng)的小獎(jiǎng)品.小程序頁(yè)面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點(diǎn)一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為，依次點(diǎn)擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎(jiǎng)勵(lì)0分）或第15格（獎(jiǎng)勵(lì)5分）時(shí)，游戲結(jié)束，每天的積分自動(dòng)累加，設(shè)小兔子跳到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求的值.（獲勝的概率）

Answer 1

【答案】（1）74（2）0.8186（3）見(jiàn)解析，

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接結(jié)算即可；

（2）由可知，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，即可得出的概率；

（3）根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，構(gòu)造等比數(shù)列可得，

利用累加法求出，即可求解.

（1）

（2）由，所以，

.

（3）小兔子開始在第1格，為必然事件，，

點(diǎn)一下開始按鈕，小兔子跳1格即移到第2格的概率為，即，

小兔子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種情況.

①小兔子先跳到第格，又點(diǎn)一下開始按鈕跳了2格，其概率為；

②小兔了先跳到第格，乂點(diǎn)一下開始按鈕跳了1格，其概率為；

因?yàn)?/span>，所以.

所以當(dāng)時(shí)，

數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，

所以，

.

所以獲勝的概率.