Question

【題目】已知點、分別在軸、軸上運動，，點在線段上，且.

（1）求點的軌跡方程；

（2）動直線與交于不同的兩點，，且的面積為，其中為坐標原點，證明為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）設，根據點在線段上，且，得到，的坐標，再由建立x，y方程即可所求.

（2）當直線的斜率不存在時，、兩點關于軸對稱，根據在橢圓上和，求得坐標即可，當直線的斜率存在時，設直線方程為，將代入方程中，利用弦長公式求得，點到直線的距離，由得到k，m的關系，再利用韋達定理求解即可.

（1）設，

因為點在線段上，且，

所以，，

因為，

所以，

即，

所以點的軌跡的方程為.

（2）①當直線的斜率不存在時，、兩點關于軸對稱，

所以，.

因為，在橢圓上，所以有，

又因為，

所以，

解得，，

此時，，

②當直線的斜率存在時，設其方程為，由題意.

將代入方程中，

整理得，

①

，，

則.

因為點到直線的距離為，

所以，

得且符合①式，

此時，，

，

所以，

綜上所述，（定值）