Question

【題目】已知橢圓C關于x軸、y軸都對稱，并且經過兩點，

（1）求橢圓C的離心率和焦點坐標；

（2）D是橢圓C上到點A最遠的點，橢圓C在點B處的切線l與y軸交于點E，求△BDE外接圓的圓心坐標.

Answer 1

【答案】（1）離心率，焦點坐標為；（2）

【解析】

（1）根據已知設所求橢圓方程為，點坐標代入橢圓方程，求解得到橢圓的標準方程，即可求出離心率和焦點坐標；

（2）設，利用點在橢圓上，將表示為關于的二次函數，求出最大時點坐標；顯然橢圓C在點B處的切線l的斜率存在，設出其方程，與橢圓方程聯立，利用，求出切線的斜率，進而求出點坐標，利用待定系數法求出△BDE外接圓的一般式方程，即可得出結論.

（1）已知橢圓C關于軸、軸都對稱，

設其方程為

由在橢圓上，得，

聯立解得，，得橢圓C的方程是.

用依次表示橢圓的長半軸、短半軸、半焦距，

則，，則，，.

所以，橢圓C的離心率，焦點坐標為

（2）設，則，即，

.

函數在區間上遞減，

則取最大時，，此時，

所以，橢圓C上到點最遠的點是；

設橢圓C在點處的切線的方程為，

即，與聯立消去后整理得，

判別式，

由相切條件得，，

所以橢圓C在點處的切線的方程是，

令得，得切線與軸的交點坐標.

設外接圓的方程為，

由三點都在圓上，

得解得

，，

所以外接圓的圓心坐標是