Question

【題目】已知曲線G上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.

（1）求曲線G的方程.

（2）是否存在過F的直線l，使得l與曲線G相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'，且△A'BF的面積等于4？若存在，求出此時(shí)直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；直線l的方程為

【解析】

（1）設(shè)S（x，y）為曲線G上任意一點(diǎn)，判斷曲線G是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，求出曲線G的方程.

（2）設(shè)直線l的方程為，與拋物線C的方程聯(lián)立，消去x，設(shè)，通過韋達(dá)定理以及三角形的面積，轉(zhuǎn)化求解m即可.

解：（1）設(shè)S（x，y）為曲線G上任意一點(diǎn)，

依題意，點(diǎn)S到的距離與它到直線的距離相等，

所以曲線G是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，

所以曲線G的方程為.

（2）設(shè)直線l的方程為，與拋物線C的方程聯(lián)立，

得，消去x，得，

設(shè)，

則

，

解得，

所以存在直線l使得△A'BF的面積等于4，此時(shí)直線l的方程為.