Question

【題目】設函數f（x）=x2+aln（x+1）（a為常數）
（Ⅰ）若函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數y=f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求證： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據題意知：f′（x）= 在[1，+∞）上恒成立． 即a≥﹣2x2﹣2x在區間[1，+∞）上恒成立．
∵﹣2x2﹣2x在區間[1，+∞）上的最大值為﹣4，
∴a≥﹣4；
經檢驗：當a=﹣4時， ，x∈[1，+∞）．
∴a的取值范圍是[﹣4，+∞）．
（Ⅱ） 在區間（﹣1，+∞）上有兩個不相等的實數根，
即方程2x2+2x+a=0在區間（﹣1，+∞）上有兩個不相等的實數根．
記g（x）=2x2+2x+a，則有 ，解得 ．
∴ ， ．
∴
令 ．
，
記 ．
∴ ，
．
在 使得p′（x0）=0．
當 ，p′（x）＜0；當x∈（x0 ， 0）時，p′（x）＞0．
而k′（x）在 單調遞減，在（x0 ， 0）單調遞增，
∵ ，
∴當 ，
∴k（x）在 單調遞減，
即
【解析】（Ⅰ）已知原函數的值為正，得到導函數的值非負，從而求出參量的范圍；（Ⅱ）利用韋達定理，對所求對象進行消元，得到一個新的函數，對該函數求導后，再對導函數求導，通過對導函數的導導函數的研究，得到導函數的最值，從而得到原函數的最值，即得到本題結論．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．