Question

【題目】已知函數(shù)．

（1） 試說(shuō)明函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的；

（2）若函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性，并用反證法證明函數(shù)的最小正周期是；

（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）偶函數(shù)，周期的證明見(jiàn)解析；（3）值域是，增區(qū)間為，減區(qū)間為．

【解析】

（1）先由二倍角公式和兩角差的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的規(guī)律求解；

（2）求出的表達(dá)式，由奇偶性定義判斷奇偶性，用反證法證明周期性；

（3）根據(jù)（2）中得出的性質(zhì)，在一個(gè)周期內(nèi)求出函數(shù)的值域，即得函數(shù)在定義域內(nèi)值域，求出一個(gè)周期內(nèi)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的周期性可得所有單調(diào)區(qū)間（但要注意區(qū)間的連續(xù)性）．

（1）由題意，

把圖象向右平移個(gè)單位得的圖象，再把所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得的圖象，最后將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變，得的圖象．

（2），

，∴是偶函數(shù)，

，是的一個(gè)周期，下面用反證法證明是最小正周期，

假設(shè)存在是的最小正周期，即恒成立，，

則，，

，

當(dāng)時(shí)，，則，∴，即這與矛盾，∴假設(shè)錯(cuò)誤，

∴是的最小正周期．

（3）由（2），當(dāng)時(shí)，，

由得，，

∴，，

此時(shí)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

∵的最小正周期是，∴時(shí)，函數(shù)的值域是．

增區(qū)間為，減區(qū)間為．