Question

【題目】設函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數在時恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若函數，求證：函數的極大值小于1.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（3）見證明

【解析】

（1）先對函數求導，分別討論和，即可得出結果；

（2）先將函數在時恒成立，轉化為在上恒成立，再設，，利用導數方法求出的最大值，即可得出結果；

（3）先由題意得到，對求導，利用導數的方法研究其單調性，即可求出其極大值，得出結論.

解：（1）由于，，

當時，，在上單調遞減；

當時，由得，由得；

所以在上單調遞減，上單調遞增.

（2）若在上恒成立，

只需，.

令，，則，

由得，所以

，隨的變化情況如下：

		1
	+	0	-
		極大值

所以，所以.

（3）由題知，，

令，，

則函數在上單調遞減，，，

所以存在唯一的，

當時，；當時，.

所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是，

其中，所以函數有極大值.

函數的極大值是，由，得，

所以，因為，所以，即，

所以的極大值小于1.