Question

【題目】現有邊長分別3，4，5的三角形兩個，邊長分別4，5，的三角形四個，邊長分別為，4，5的三角形六個.用上述三角形為面，可以拼成______個四面體.

Answer 1

【答案】一

【解析】

如圖所示，.

能拼成四面體的關鍵之一是兩相鄰面的交棱長相等，關鍵之二是每頂點處任兩個面角之和大于第三個面角.據題設條件知，每種三角形必須成對出現.不仿設拼成的四面體為PQRS，如圖.

（1）若取兩個置于和上，使.

（i）若取兩個置于和上，（），則P處的三個面角分別為和.而，所以不能拼成四面體.

（ii）若取另兩個置于和上，（）則P處的三個面角分別和，而

（可用余弦定理算之），所以也不能拼成四面體.

（iii）若取兩個置于和上（），則P處的三個面角分別和，而（因為

，且內為減函數），所以仍不能拼成.

（2）若取兩個置于和上，使.

（i）若取兩個另置于兩個面上（），由上述（1）、（iii）知不能拼成四面體.

（ii）若取兩個置于另兩個面上（），則P處的三個面角分別和，而，因此也不能拼成.

（iii）若取另兩個置于另兩個面上（），則P處的三個面角分別和，而其中最大角（因為，且在內為增函數），即頂點處的三個面角任二個面角之和大于第三個面角成立.

所以，這四個三角形僅能拼成一個四面體.