Question

【題目】已知函數，且上的最大值為．

求函數的解析式；

判斷在內的零點的個數，并加以證明．

Answer 1

【答案】(1) (2) 函數在內恰有兩個零點

【解析】

(1)函數恒成立轉化為在上恒成立，即，令，利用函數的導數，求出即可．

(2)，求出導函數，判斷函數的單調性，判斷函數的零點，通過當時，當時，令，利用函數的導數求解函數的極值，轉化求解函數的零點個數即可。

(1)因為，所以，，所以

由題意，在上恒成立，且能取到等號

即在上恒成立，且能取到等號，即

令，則

所以函數在上單調遞增，

所以，解得，

所以。

(2)因為

當時，因為，所以函數在上單調遞增

因為，所以函數在上有唯一零點

當時，令

因為，所以函數即當時單調遞減

又因為，所以存在唯一使

所以當時，；當時，

所以在上單調遞增，在上單調遞減

注意到，，所以

所以函數在上沒有零點，在上有唯一零點，

由得函數在內恰有兩個零點。